\documentclass[a4paper,fleqn]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}
\def\idr{\rm{id}_\mathbb{R}}
\def\d{\mbox{\rm d}}
\def\e{\mbox{\rm e}}
\def\tg{\mbox{\rm tg}}
\def\ctg{\mbox{\rm ctg}}

% Alap tav a lap bal illetve folso szeletol 2.54cm (1inch). Ezt valtoztatja a hoffset es a voffset.
% Az A4 lap szelessege 21cm, magassaga 29.7cm.
\setlength{\hoffset}{-40 pt}
\setlength{\voffset}{-30 pt}
\setlength{\topmargin}{0 pt}
\setlength{\textwidth}{400 pt}
\setlength{\textheight}{640 pt}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{enumerate}

\item Határozzuk meg az alábbi szétválasztható, vagy arra visszavezethető differenciálegyenletek összes megoldását!
(4$\times$2 pont)
\begin{enumerate}
\item \[\sqrt{1-y^2}=\sqrt{1+\idr^2}\;y'\]
\item \[(x^2-y(x)x^2)y'(x)+y^2(x)+xy^2(x)=0\]
\item \[y'=\frac{1}{2x+y}\]
\item \[y'=\sqrt{y-2x}\]
\end{enumerate}

\item Határozzuk meg az alábbi, megadott típusú differenciálegyenletek összes megoldását!
(5$\times$3 pont)
\begin{enumerate}
\item \[y'+\frac{2}{x}=\frac{1}{x^3}y^3\textnormal{, Bernoulli}\]
\item \[y'-2y=x^2+2\e^x\sin(x)\textnormal{, inhomogén lineáris}\]
\item \[x^2y'+(xy-2)^2=0\textnormal{, Riccatti, }y_1(x)\sim\frac{1}{x}\textnormal{ alakú mo.-sal}\]
\item \[x^2+2xy-y^2+(x^2-2xy-y^2)y'=0\textnormal{, egzakt}\]
\item \[y+1-(xy+y^2+y+1)y'=0\textnormal{, egzakttá tehető}\]
\end{enumerate}

\item Adjunk meg differenciálegyenletet az alábbi fizikai problémákhoz!
\begin{enumerate}
\item $\frac{v^2}{\lambda}$ nagyságú, sebességgel ellentétes irányú közegellenállással eső test (1 pont)
\item rádióaktív bomlás, ha az időegységenkénti bomlások száma arányos a még meglévő magok számával (1 pont)
\item asztallapról lecsúszó kötél, ha a súrlódás arányos a még fentlévő részre ható nyomóerővel,
a gravitációs erő pedig a már lógó rész tömegével (2 pont)
\end{enumerate}

\item Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenletek összes megoldását!
\begin{enumerate}
\item \[2x^3-135y^3+81xy^2y'=0\textnormal{ (3 pont)}\]
\item \[x-2y-1+(2x-y+1)y'=0\textnormal{ (4 pont)}\]
\item \[xy'+y(x\ctg x +1)=\ctg x\textnormal{ (3 pont)}\]
\item \[(1-x^2)y'+xy+xy^2=2x\textnormal{ (5 pont)}\]
\item \[\frac{2x-3y}{y}+\frac{4y^2-x^2}{y^2}y'=0\textnormal{ (4 pont)}\]
\item \[y'=y\tg x - \frac{1}{\cos x}\textnormal{ (4 pont)}\]
\end{enumerate}

\item Adjuk meg az alábbi differenciálegyenletek megoldásának hatványsorát az együtthatókra vonatkozó rekurziós
formula segítségével, és határozzuk meg az első öt együtthatót!)
\begin{enumerate}
\item \[y''-xy'+2y=0\textnormal{, }x=0\textnormal{ (5 pont)}\]
\item \[y''+xy'+(2x-1)y=0\textnormal{, }x=-1\textnormal{k.f.: }y(-1)=2\textnormal{, }y'(-1)=-2\textnormal{ (6 pont)}\]
\end{enumerate}

\item Találjunk egy egyszerű partikuláris megoldást az alábbi differenciálegyenlet homogén változatához, majd adjuk
meg a teljes egyenlet összes megoldását az Abel-azonosság (Wronski-féle módszer) segítségével! (7 pont)
\[x^2y''-3xy'+4y=\ln x\]

\end{enumerate}

\end{document}
