\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\makeatletter

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands.
\providecommand{\LyX}{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\@}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.

\newcommand{\br}{\hfil\break}
\newcommand{\noi}{\noindent}
\newcommand{\beq}{\begin{equation}}
\newcommand{\eeq}{\end{equation}}


\newcommand{\df}[1]{{\bf Definition #1:}}
\newcommand{\pr}[1]{{\bf Proposition #1:}}
\newcommand{\cor}[1]{{\bf Corollary #1:}}
\newcommand{\thr}[1]{{\bf Theorem #1:}}
\newcommand{\lem}[1]{{\bf Lemma #1:}}
\newcommand{\Lagr}{\mathcal{L}}
\newcommand{\Ham}{\mathcal{H}}
\newcommand{\intd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}

\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\proof}{{\sl Proof.\ }}
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\hlf}{\frac{1}{2}}
\newcommand{\SL}{$SL(2,\CC)$}
\newcommand{\bra}[1]{\langle #1 |}
\newcommand{\ket}[1]{|\, #1 \rangle}
\newcommand{\point}{\(\bullet\;\)}


\setlength{\textwidth}{16cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0cm}
\setlength{\evensidemargin}{0cm}

\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage[dvips]{graphics,color}


\makeatother
\begin{document}
{\centering {\Large M\'asodrend\H u line\'aris egyenletek hatv\'anysor alak\'u megold\'asai}\Large \par}
\vspace*{1cm}

1) Tekints\"uk a k\"ovetkez\H o, egy \( w(z) \) komplex f\"uggv\'enyre vonatkoz\'o homog\'en m\'asodrend\H u kezdeti \'ert\'ek probl\'em\'at:\[
w''(z)=p_{1}(z)w'(z)+p_{0}(z)w'(z),\qquad w(0)=a,\quad w'(0)=b,\]
ahol \( p_{1} \) \'es \( p_{0} \) egyes izol\'alt \( z_{0},z_{1},...\in \CC  \)
pontok kiv\'etel\'evel minden\"utt analitikus komplex f\"uggv\'enyek.

\vspace{0.4cm}

2) Tegy\"uk fel el\H osz\"or, hogy a \( z=0 \) pont a differenci\'alegyenlet \textsl{regul\'aris pontja}, azaz ebben a pontban \( p_{1} \)
\'es \( p_{0} \) analitikus. A \( 0 \) pont kiv\'alaszt\'asa nem
jelent megszor\'it\'ast, mert eltol\'assal tetsz\H oleges pont a \( 0 \)-ba vihet\H o. Ez a k\'es\H obbiekre is vonatkozik. Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy \( w \) is analitikus a \( 0 \) pontban. Ekkor a differenci\'alegyenletb\H ol megkaphatjuk \( w''(0) \)-t
kifejezve \( p_{1} \) \'es \( p_{0} \) \( 0 \)-beli \'ert\'ek\'evel \'es \( a,b \)-vel,
majd v\'eve a differenci\'alegyenlet deriv\'altj\'at megkaphatjuk \( w'''(0) \)-t,
\'es \'igy tov\'abb: \( w \) \"osszes \( 0 \)-beli deriv\'altja kifejezhet\H o \( a \)-val,
\( b \)-vel \'es \( p_{1} \) \'es \( p_{0} \) \( 0 \)-beli deriv\'altjaival. P\'eld\'aul:\[
w''(0)=p_{1}(0)w'(0)+p_{0}(0)w(0)=bp_{1}(0)+ap_{0}(0)\]
\[
w'''(0)=p_{1}(0)w''(0)+p_{1}'(0)w'(0)+p_{0}(0)w'(0)+p_{0}'(0)w(0)=\]
\[
=b[p_{1}^{2}(0)+p_{1}'(0)+p_{0}(0)]+a[p_{1}(0)p_{0}(0)+p_{0}'(0)]\]
 Megmutathat\'o, hogy az \'igy el\H o\'all\'o

\[
w(z)=w(0)+w'(0)z+\frac{1}{2}w''(0)z^{2}+\frac{1}{3!}w'''(0)z^{3}+...\]
sor konvergens, \'es \'igy a differenci\'alegyenlet megold\'as\'at adja a \( 0 \) egy
k\"ornyezet\'eben. Ebb\H ol a megold\'as egy\'ertelm\H us\'ege miatt az is k\"ovetkezik, hogy
\( w(z) \) val\'oban analitikus a \( 0 \) pontban, tov\'abb\'a hogy \( w \)
csak olyan pontokban lehet nem analitikus, amelyekben \( p_{1} \)
vagy \( p_{0} \) sem az. Az el\H obbiek alapj\'an nem neh\'ez ellen\H orizni, hogy a \( w(z) \)
megold\'as el\H ol\'all (a nulla egy k\"ornyezet\'eben) a \[
w(z)=aw_{1}(z)+bw_{2}(z)\]
 alakban, ahol \( w_{1} \) \'es \( w_{2} \) az \( a=1,b=0 \) illetve a \( a=0,b=1 \)
kezdeti \'ert\'ekekhez tartoz\'o megold\'asok,\[
w_{1}(z)=1+\frac{1}{2}p_{0}(0)z^{2}+\frac{1}{3!}[p_{1}(0)p_{0}(0)+p_{0}'(z)]z^{3}+...\]
\[
w_{2}(z)=z+\frac{1}{2}p_{1}(0)z^{2}+\frac{1}{3!}[p_{1}^{2}(0)+p_{1}'(0)+p_{0}(0)]z^{3}+...\]
A \( w_{1} \) \'es \( w_{2} \) line\'arisan f\"uggetlen megold\'asok, \( w(z)=aw_{1}(z)+bw_{2}(z) \)
az \'altal\'anos megold\'as.

Gyakran gyorsabb \'ugy sz\'amolni, hogy a differenci\'alegyenletbe be\'irjuk a \[
w(z)=w_{0}+w_{1}z+w_{2}z^{2}+w_{3}z^{3}+...\]
 kifejez\'est, valamint \( p_{1} \) \'es \( p_{0} \) hely\'ebe is a hasonl\'o Taylor sort, \'es a
\( w_{0},w_{1},w_{2}... \) egy\"utthat\'okat abb\'ol a felt\'etelb\H ol hat\'arozzuk meg, hogy \( z \)
minden hatv\'any\'anak egy\"utthat\'oja nulla legyen.

\vspace{0.4cm}

3) Tegy\"uk most fel, hogy \( p_{1} \) vagy \( p_{0} \) (vagy mind
a kett\H o) szingul\'aris a nulla pontban. Ha p\'eld\'aul \( p_{1} \)-nek
p\'olusa van, \( p_{0} \) pedig analitikus, akkor a diffferenci\'alegyenletnek (meghat\'arozott kezdeti felt\'etel n\'elk\"ul) l\'etezik egy analitikus megold\'asa, amelyet l\'enyeg\'eben a fenti m\'odon ki lehet sz\'amolni. A Wronski-f\'ele m\'odszerrel el\H o lehet \'all\'itani egy m\'asik line\'arisan f\"uggetlen megold\'ast, azonban bel\'athat\'o, hogy ez nem analitikus a nulla pontban, hanem el\'agaz\'asi pontja vagy p\'olusa van, ha \( p_{1} \)-nek
egyszeres p\'olusa van \( 0 \)-ban, illetve l\'enyeges szingularit\'asa van, ha \( p_{1} \)-nek
magasabb rend\H u p\'olusa van.

\vspace{0.4cm}

J\'ol kidolgozott elm\'elete van annak az esetnek, amikor egy szingul\'aris pontban (mely az egyszer\H us\'eg kedv\'e\'ert legyen a nulla) a differenci\'alegyenlet megold\'asai analitikusak, vagy el\'agaz\'asi pontjuk vagy p\'olusuk van. Az ilyen szingul\'aris pontokat \textsl{regul\'aris szingul\'aris pontoknak} nevezz\"uk. Tegy\"uk fel tah\'at, hogy a nulla egy ilyen regul\'aris szingul\'aris pont. Bel\'athat\'o, hogy ilyenkor a \( p_{1} \)
\'es \( p_{0} \) a k\"ovetkez\H o alak\'u: \[
p_{1}(z)=\frac{r(z)}{z},\qquad p_{0}(z)=\frac{s(z)}{z^{2}},\]
ahol \( r \) \'es \( s \) a \( 0 \)-ban analitikus f\"uggv\'enyek. A k\"ovetkez\H okben teh\'at ezzel az esettel foglalkozunk.

\vspace{0.4cm}

3a) Abban a speci\'alis esetben, amikor az \( r \) \'es \( s \)
f\"uggv\'enyek konstansok, az \'altal\'anos megold\'as \[
w(z)=A_{1}z^{\lambda _{1}}+A_{2}z^{\lambda _{2}},\]
 ahol \( A_{1} \) \'es \( A_{2} \) tetsz\H olges \'alland\'ok, \( \lambda _{1} \)
\'es \( \lambda _{2} \) pedig a k\"ovetkez\H o m\'asodfok\'u\textsl{ indexegyenlet} (k\"ul\"onb\"oz\H o) gy\"okei:\[
\lambda (\lambda -1)-\alpha \lambda -\beta =0,\]
 ahol \( r(z)=\alpha  \), \( s(z)=\beta  \). Ez behelyettes\'et\'essel k\"onnyen ellen\H orizhet\H o. Ha esetleg \( \lambda _{1}=\lambda _{2}=\mu  \),
akkor k\"onnyen ellen\H orizhet\H o, hogy az \'altal\'anos megold\'as \[
w(z)=z^{\mu }(A_{1}+A_{2}\log z).\]


\vspace{0.4cm}

3b) Az \'altal\'anos esetben keress\"uk a megold\'ast \begin{equation}
\label{eqq0}
w(z)=z^{\lambda }(w_{0}+w_{1}z+w_{2}z^{2}+...),\qquad w_{0}\ne 0
\end{equation}
 alakban. Fejts\"uk sorba \( r \)-et \'es \( s \)-et is: \( r(z)=r_{0}+r_{1}z+r_{2}z^{2}+... \),
\( s(z)=s_{0}+s_{1}z+s_{2}z^{2}+... \), \'es helyettes\'its\"uk be ezeket
a sorokat a differenci\'alegyenletbe. \'Igy a k\"ovetkez\H o egyenletek ad\'odnak \( w_{0},w_{1},w_{2}... \)-re:
\begin{equation}
\label{eqq1}
w_{0}[\lambda (\lambda -1)-\lambda r_{0}-s_{0}]=0
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eqq2}
w_{1}[(\lambda +1)\lambda -(\lambda +1)r_{0}-s_{0}]=(\lambda r_{1}+s_{1})w_{0}
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eqq3}
w_{2}[(\lambda +2)(\lambda +1)-(\lambda +2)r_{0}-s_{0}]=(\lambda r_{2}+s_{2})w_{0}+[(\lambda +1)r_{1}+s_{1}]w_{1}
\end{equation}
\[
...\]
\begin{equation}
\label{eqq4}
w_{n}[(\lambda +n)(\lambda +n-1)-(\lambda +n)r_{0}-s_{0}]=(\lambda r_{n}+s_{n})w_{0}+...+[(\lambda +n-1)r_{1}+s_{1}]w_{n-1}.
\end{equation}
\( w_{0}\ne 0 \) miatt az els\H o egyenletb\H ol az ad\'odik, hogy \( \lambda  \)
gy\"oke az \textsl{indexegyenletnek}:\[
\lambda (\lambda -1)-\lambda r_{0}-s_{0}=0.\]
Ha ennek az egyenletnek k\'et k\"ul\"onb\"oz\H o gy\"oke van, \'es a gy\"ok\"ok k\"ul\"onbs\'ege nem eg\'esz sz\'am, akkor a (\ref{eqq2})-(\ref{eqq4}) egyenletekben \( \lambda  \)
hely\'ere be\'irva az egyik illetve a m\'asik gy\"ok\"ot k\'et line\'arisan f\"uggetlen \( w(z) \) megold\'as \'all\'ithat\'o el\H o a \( 0 \)
pont egy k\"ornyezet\'eben. Bel\'athat\'o, hogy a k\'et sor, amit a le\'irt m\'odszerrel kapunk egyenletesen konvergens a \( 0 \)
egy k\"ornyezet\'eben.

\vspace{0.4cm}

3c) Ha \( \lambda _{1}=\lambda _{2} \), akkor az (\ref{eqq2})-(\ref{eqq4}) egyenletekb\H ol csak egy \( w_{1}(z) \) megold\'ast kapunk, egy m\'asik line\'arisan f\"uggetlen \( w_{2}(z) \) megold\'as a Wronski-f\'ele m\'odszerrel kaphat\'o meg. Ezt a m\'odszert alkalmazva nem neh\'ez bel\'atni, hogy \( w_{2} \)
a k\"ovetkez\H o alak\'u:\begin{equation}
\label{eqq5}
w_{2}(z)=Aw_{1}(z)[\log z+h(z)],
\end{equation}
ahol \( A \) tetsz\H oleges konstans, \( h(z) \) analitikus a \( 0 \)
pontban. Miut\'an \( w_{1} \)-et meghat\'aroztuk, \( h(z) \)-t \'ugy hat\'arozhatjuk meg, hogy \( h \)-t
hatv\'anysor alakban (\( h(z)=h_{0}+h_{1}z+h_{2}z^{2}+... \)), \( w_{1} \)-et
pedig a (\ref{eqq0}) alakban be\'irjuk a (\ref{eqq5}) formul\'aba, ezt pedig a differenci\'alegyenletbe, amelybe \( r \)-et
\'es \( s \)-et is hatv\'anysor alakban \'irjuk be. \'Igy \( h_{0},h_{1},h_{2}... \)-re
kapunk megoldhat\'o egyenleteket.

\vspace{0.4cm}

3d) Ha \( \lambda _{1}=\lambda _{2}+n \), ahol \( n \) pozit\'iv eg\'esz sz\'am, akkor
a (\ref{eqq2})-(\ref{eqq4}) egyenletek csak \( \lambda =\lambda _{1} \)
eset\'en adnak egy \( w_{1}(z) \) megold\'ast, m\'asik line\'arisan f\"uggetlen megold\'ast most is a Wronski-f\'ele m\'odszerrel kaphatunk.
Ezt alkalmazva nem neh\'ez bel\'atni, hogy \( w_{2} \) a k\"ovetkez\H o alak\'u:\[
w_{2}(z)=A[\gamma w_{1}(z)\log z+z^{\lambda _{2}}h(z)],\]
ahol \( A \) tetsz\H oleges konstans, \( h(z) \) analitikus a \( 0 \)
pontban, \( \gamma  \) pedig egy fix konstans (nulla is lehet), melyet
a \( h \) kifejt\'esi egy\"utthat\'oival egy\"utt lehet meghat\'arozni. Ett\H ol eltekintve \( h_{0},h_{1},h_{2}... \) meghat\'aroz\'asa az el\H oz\H o esetben le\'irthoz hasonl\'oan t\"ort\'enik.

\vspace{0.4cm}

3e) Defin\'ici\'o szerint egy \( w(z) \) f\"uggv\'eny v\'egtelenbeli viselked\'es\'en a \( w(1/z) \)
f\"uggv\'eny nulla pontbeli viselked\'es\'et \'ertj\"uk. Besz\'elhet\"unk v\'egtelenbeli szingul\'aris pontr\'ol is, ez a differenci\'alegyenletben a \( z=1/u \)
transzform\'aci\'o v\'egrehajt\'as\'aval \( 0 \) pontbeliv\'e tehet\H o.
\end{document}
