\documentclass[a4paper,fleqn]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}
\def\idr{\rm{id}_\mathbb{R}}
\def\d{\mbox{\rm d}}
\def\e{\mbox{\rm e}}
\def\tg{\mbox{\rm tg}}
\def\ctg{\mbox{\rm ctg}}
\def\vv{\textnormal{, }}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \bf Differenciál-egyenletek gyakorlat házi feladatok}\\
\bigskip
{\large 8. hét}

\bigskip
\bigskip
\end{center}
\begin{enumerate}

\item Az alábbi egyenletek közül melyek Sturm-Liouville problémák az $y(0)=0$, $y'(0)=0$ határfeltételekkel? Alakítsuk
őket a kanonikus Sturm-Liouville-alaknak megfelelően, és határozzuk meg az ebben szereplő függvényeket!
\begin{enumerate}
\item \[\e^xy''+\e^xy'+\lambda y = 0\]
\item \[\left(\frac{1}{x}y'\right)'+(x+\lambda)y = 0\]
\item \[xy''+y'+(x^2+1+\lambda)y = 0\]
\item \[(x+2)y''+4y'+xy+\lambda \e^xy = 0\]
\end{enumerate}

\item Oldjuk meg az alábbi Sturm-Liouville-problémákat, és vizsgáljuk meg, hogy teljesül-e a megoldásokra a gyakorlaton
vett állítás négy pontja!
\begin{enumerate}
\item \[y''+\lambda y = 0 \vv y'(0)=0 \vv y(\pi)=0\]
\item \[y''+\lambda y = 0 \vv y'(0)=0 \vv y'(\pi)=0\]
\item \[y''+\lambda y = 0 \vv y(0)=0 \vv y(2\pi)=0\]
\end{enumerate}

\item Keressük meg a Sturm-Liouville-módszerrel az
\[y''=\sin(x)\cos(x) \vv y(0)=0 \vv y(2\pi)=0\]
egyenlet megoldását! Azaz: írjuk fel az
\[y''+\lambda y = 0\]
egyenletet, és az ennek megoldásai szerint fejtsük sorba az előbbi egyenlet jobb oldalát, a gyakorlaton tanultaknak
megfelelően!


\item Vizsgáljuk meg az alábbi egyenleteket, hogy megfelelnek-e Sturm-Liouville-feltételeknek, oldjuk meg a problémákat,
és vizsgáljuk meg, hogyan teljesülnek az előző előtti feladatban említett feltételek!
\begin{enumerate}
\item \[y''+2y'+\lambda y = 0 \vv y(0)+y'(0)=0 \vv y(1)+y'(1)=0\]
\item \[y''+4y'+\lambda y = 0 \vv y(0)+y'(0)=0 \vv y(1)+y'(1)=0\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
