\documentclass[a4paper,fleqn]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}
\def\idr{\rm{id}_\mathbb{R}}
\def\d{\mbox{\rm d}}
\def\e{\mbox{\rm e}}
\def\tg{\mbox{\rm tg}}
\def\ctg{\mbox{\rm ctg}}
% Alap tav a lap bal illetve folso szeletol 2.54cm (1inch). Ezt valtoztatja a hoffset es a voffset.
% Az A4 lap szelessege 21cm, magassaga 29.7cm.
\setlength{\hoffset}{-40 pt}
\setlength{\voffset}{-30 pt}
\setlength{\topmargin}{0 pt}
\setlength{\textwidth}{400 pt}
\setlength{\textheight}{640 pt}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \bf Differenciál-egyenletek gyakorlat házi feladatok}\\
\bigskip
{\large 7. hét}

\bigskip
\bigskip
\end{center}
\begin{enumerate}

\item Vegyük az
\[x^2y''-(x^2+2x)y'+\frac{x^2}{x+1}y=\ln x\]
differenciálegyenletet, az $y(1)=1$, $y(2)=2$ határfeltétellel, és vezessük vissza egy ezzel
ekvivalens, homogén határfeltételű, $(ru')'+su=h$ alakú differenciál-egyenletre!

\item Vegyük az alábbi differenciál-egyenletet!
\[xy''+(2x-1)y'+(x-1)y =0\textnormal{, }y(a)=y(b)=0\]
\begin{enumerate}
\item Határozzuk meg az egyszerűsített, $(ry')'+sy=h$-nak megfelelő alakot!
\item Keressük meg a homogén egyenlet egy egyszerű megoldását, és ebből számoljunk ki egy másik, az
előbbitől lineárisan független megoldást!
\item \label{e:uu} Keressük meg azokat az $u_1$, $u_2$ függvényeket, amelyek megoldásai a homogén egyenletnek, és igazak
rájuk az
\[u_1(a)=u_2(b)=0\]
\[u_1'(a)=u_2'(b)=0\]
összefüggések!
\end{enumerate}

\item Vegyük az alábbi differenciál-egyenletet!
\[(x+1)y''+xy'-y=2(x+1)^2\textnormal{, }y(0)=y(1)=0\]
\begin{enumerate}
\item Határozzuk meg az egyszerűsített, $(ry')'+sy=h$-nak megfelelő alakot!
\item Keressük meg a homogén egyenlet egy egyszerű megoldását, és ebből számoljunk ki egy másik, az
előbbitől lineárisan független megoldást!
\item Keressük meg a \ref{e:uu}-ban leírt feltételnek megfelelő $u_1$, $u_2$ függvényeket!
\item Számoljuk ki az egyenlet Green-függvényét!
\end{enumerate}

\item Vegyük az alábbi differenciál-egyenletet!
\[(1-x^2)y''-2xy'+\frac{y}{x^2-1}=\sqrt{1+x^2}\textnormal{, }y(0)=y(1)=0\]
\begin{enumerate}
\item Határozzuk meg az egyszerűsített, $(ry')'+sy=h$-nak megfelelő alakot!
\item Bizonyítsuk be, hogy az
\[y(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]
függvény megoldása a homogén egyenletnek!
\item Számoljunk ki egy másik, az előbbitől lineárisan független megoldást!
\item Keressük meg a \ref{e:uu}-ban leírt feltételnek megfelelő $u_1$, $u_2$ függvényeket!
\item Számoljuk ki az egyenlet Green-függvényét!
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
