\documentclass[a4paper,fleqn]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}
\def\idr{\rm{id}_\mathbb{R}}
\def\d{\mbox{\rm d}}
\def\e{\mbox{\rm e}}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \bf Differenciálegyenletek gyakorlat házi feladatok}\\
\bigskip
{\large 3. hét}

\bigskip
\bigskip
\end{center}
\begin{description}
\item[1.] \textsc{Fizikai feladatok, másodrendű lineáris d.e.-k}
\begin{itemize}
\item[(a)] Egy 32 kg tömegű test egy rugón alapállapotban 8 m-re lóg le. Kitérítjük 1 méterrel a nyugalmi helyzetéből,
és elengedjük. A légellenállás $F_{le}=-20$kg/s$v$. Mi lesz a test helyének időfüggése?
\item[(b)] Egy 10 kg tömegű test van egy vízszintesen mozgó, 140 N/m rugóállandójú rugóra erősítve. A légellenállási
együttható 90 kg/s. A test nyugalomban van, majd rákapcsolunk egy 5N$\sin(t)$ időfüggésű gerjesztő erőt.
Hogyan fog mozogni?
\item[(c)] Egy soros rezgőkörben van egy 50 $\Omega$ ellenállás, egy 2$\mu$F kapacitású kondenzátor és egy 10mH
induktivitású tekercs. Kezdetben a kapacitás töltése nulla, és a körön folyó áram erőssége is nulla. Ekkor rákapcsolunk
a körre egy 20V$\sin(t)$ feszültségforrást. Hogyan változik a kapacitás töltése az idő függvényében?
\end{itemize}
\bigskip
\item[3.] \textsc{Másodrendű lineáris differenciálegyenletek}
Mi az alábbi differenciálegyenletek megoldásának hatványsorának első öt tagja?
\begin{itemize}
\item[(a)] \[y''(x)-xy'(x)+2y(x)=0\textnormal{, }x=0\textnormal{ körül}\]
\item[(b)] \[y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=2x\e^{x^2}\textnormal{, }x=0\textnormal{ körül}\]
\item[(c)] \[y''(x)=xy(x)\textnormal{, }x=0\textnormal{ és }x=1\textnormal{ körül}\]
\end{itemize}
\bigskip
\item[4.] \textsc{Másodrendű lineáris differenciálegyenletek}
A Legendre-féle differenciálegyenlet alakja a következő:
\[(1-x^2)y''(x)-2xy'(x)+n(n+1)y(x)=0\textnormal{, ahol $n$ pozitív egész.}\]
Mutasd meg, hogy ennek megoldása mindig polinom, és számold ki a megoldását $n=1,2,3$ esetére!
\bigskip
\item[5.] \textsc{Másodrendű lineáris differenciálegyenletek}
Számold ki az alábbi egyenletek megoldását a Wronski-determinánsos módszerrel!
\item[(a)] \[(x+1)y''(x)+xy'(x)-y(x)=2(x^2+1)^2\textnormal{, }y(0)=0\textnormal{, }y(1)=1\]
\item[(b)] \[xy''(x)+(2x-1)y'(x)+(x-1)y(x)=x^2\e^x\textnormal{, }y(0)=0\textnormal{, }y(1)=1\]



\end{description}
\end{document}
