\documentclass[a4paper,fleqn]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar,english]{babel}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \bf Differenciálegyenletek gyakorlat}\\
\bigskip
{\large 2. óra}
\bigskip
\bigskip
\end{center}
\begin{description}
\item[1.] \textsc{Előadás anyagának ismétlése}\\
\begin{itemize}
\item[(a)] Homogén lineáris differenciálegyenletek:
\[y'(x)+g(x)y(x)=0\Rightarrow y=C\rm e^{-\int g}\]
\item[(b)] Inhomogén lineáris differenciálegyenletek, állandók variálása, $C$ helyére $\widetilde{C}(x)$, ezt
visszahelyettesítve
\[\widetilde{C}=\int \left( h \; \rm e^{\int g} \right),\]
és így
\[y'(x)+g(x)y(x)=h(x)\Rightarrow y=\left(C+\int \left( h \; \rm e^{\int g} \right)\right)\rm e^{-\int g}.\]
\item[(c)] Bernoulli-féle differenciálegyenletek
\[y'(x)+g(x)y(x)=h(x)y(x)^n,\]
és innen $u=y^{1-n}$ helyettesítéssel az
\[\frac{1}{1-n}u'+gu=h\]
inhomogén lineárisra jutunk.
\item[(d)] Riccati-féle differenciálegyenletek
\[y'(x)=f(x)y^2(x)+g(x)y(x)+h(x).\]
Ezt egy $y_1(x)$ partikuláris megoldás ismeretében, $u(x)=\frac{1}{y(x)-y_1(x)}$ transzformáció végrhajtásával az
\[u'+(2fy_1+g)u=-f\]
inhomogén lineárisra jutunk.
\end{itemize}
\bigskip
\item[2.] \textsc{Példafeladatok}\\
\begin{itemize}
\item[(a)] \[y'(x)-\frac{y(x)}{x}=x^2,\] állandók variálása
\item[(b)] $R$ ohmos ellenállás, $L$ önindukciójú tekercs sorbakapcsolva egy $U_0 \rm{cos} \omega t$
áramforrást tartalmazó áramkörben. Kirchhoff alapján, tudva, hogy egy tekercsen eső feszültség arányos a rajta átfolyó
áram megváltozásával:
\[L\frac{di(t)}{dt}+Ri(t)=U_0 \rm{cos} \omega t,\]
és itt állandók variálása helyett a partikuláris megoldást
\[i_0(t)=a\rm{cos} \omega t+b\rm{sin} \omega t\]
alakban keressük.
\item[(c)] Radioaktív bomlás,
\[\frac{dN(t)}{dt}=-\lambda N(t)\]
\item[(d)] Bernoullira példa:
\[3xy'(x)-2y(x)=xy(x)^4\]
\item[(e)] Riccatira példa:
\[y'+2y^2=\frac{1}{\rm{id}_\mathbb{R}}\]
Ez speciális, itt kicsit egyszerűbb a megoldás, csak $z=1/y$-t kell helyettesíteni, majd ez homogén fokszámú,
így itt $u(x)=z(x)/x$-et, és szétválasztható lesz, az '$u$'-s tag pedig két lineáris nevezőjű tört összegére bontható,
innen kész a megoldás.
\item[(f)] Riccati partikuláris megoldással:
\[x^2y'(x)+(xy(x)-2)^2=0\]
és
\[y_1(x)=\frac{k}{x},\]
ahol $y_1$ a partikuláris megoldás, $k$ valós szám.
\end{itemize}
Szerintem ennyi kitölti a gyakorlatot, de ha sok, akkor nem baj, ha elmarad belőle valami.
\end{description}
\end{document}
