\documentclass[a4paper,fleqn]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}
\def\idr{\rm{id}_\mathbb{R}}
\def\d{\mbox{\rm d}}
\def\e{\mbox{\rm e}}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \bf Differenciálegyenletek gyakorlat házi feladatok}\\
\bigskip
{\large 2. hét}

\bigskip
\bigskip
\end{center}
\begin{description}
\item[1.] \textsc{Lineáris differenciálegyenletek}
\begin{itemize}
\item[(a)] \[y'-\frac{ay}{\idr}=\frac{\idr+1}{\idr}\]
\item[(b)] \[y'+y=\exp\circ(-\idr)\]
\item[(c)] \[2x(x-1)\frac{\d y}{\d x}+(2x-1)y(x)=x\]
\item[(d)] \[u \d v +(2u+3v)\d u =0\]
\item[(e)] \[y(y-1)\d x+(x-y^2)\d y =0\]
\end{itemize}
Mindenhol az \underline{összes} megoldás megadása a helyes válasz,
és $\mathbb{R}\rightarrowtail\mathbb{R}$ függvényeket keresünk.
\bigskip
\item[2.] \textsc{Lineárisra visszavezethető differenciálegyenletek}
\begin{itemize}
\item[(a)] \[xy'(x)=y(x)+2xy^2(x)\]
\item[(b)] \[xy'(x)+y(x)=y^2(x)\ln x\]
\end{itemize}
\bigskip
\item[3.]  \textsc{Geometriai feladat, lineáris differenciálegyenletek}\\
Határozzuk meg azokat a görbéket, amelynek átmennek a $(0,0)$ ponton, és az ide húzott érintőjük az $(x,f(x))$ ponthoz
húzott érintőjükkel a $\left(2/3x,2/3y)\right)$ pontban metszik egymást!\\


\item[4.] \textsc{Fizikai feladat, lineáris differenciálegyenletek}\\
Egy $m$ tömegű testet leejtünk $h$ magasságban (ahol még az $F=mg$ ``jó'' közelítés a gravitációs erőre). Ha a
közegellenállás $kv^2$ nagyságú, mennyi idő múlva ér földet a test?\\


\item[5.] \textsc{Fizikai feladat, lineáris differenciálegyenletek}\\
Egy állandó hőmérsékleten tartott dobozban ideális gáz van. A doboz falán kis lyuk keletkezik, amelyen szökni kezd a gáz.
Az időegység alatt kiszökő gáz mennyisége arányos a bent lévő nyomással, az arányossági tényező $\alpha$. Mennyi idő
csökken a nyomás az eredeti felére (a kezdeti állapotjelzők függvényében)?\\


\item[6.] \textsc{Riccati-féle differenciálegyenlet}
\[(1-x^2)y'(x)+xy(x)+xy^2(x)=2x\] (egy partikuláris megoldást igen könnyű találni, a lehető legegyszerűbb is megteszi)\\


\end{description}
\end{document}
